Условие
Решите в натуральных числах уравнение xy = yx при x ≠ y.
Решение
Из равенства xy = yx следует, что
простые делители чисел x и y одни и те же, то есть 
То же самое равенство показывает, что a1y = b1x, ..., any = bnx. Пусть для определённости x < y. Тогда из записанных равенств следует, что a1 < b1, ..., an < bn, то есть y = kx, где k – целое число. Подставляя равенство y = kx в исходное равенство xy = yx, получаем xkx = (kx)x, то есть xk–1 = k. По предположению k > 1, а значит, x > 1. Ясно, что 22–1 = 2. Легко также проверить, что если x > 2 или k > 2, то xk–1 > k.
Ответ
{2, 4}.
Источники и прецеденты использования
