Задача 77874

Темы:    [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Неравенства с описанными, вписанными и вневписанными окружностями ] [ Гомотетичные окружности ] [ Неравенства для элементов треугольника (прочее) ] [ Прямая Эйлера и окружность девяти точек ] [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Условие

Доказать, что в любом треугольнике имеет место неравенство: R2r (R и r — радиусы описанного и вписанного кругов соответственно), причем равенство R = 2r имеет место только для правильного треугольника.

Решение

Пусть A₁, B₁ и C₁ — середины сторон BC, AC и AB соответственно. При гомотетии с центром в точке пересечения медиан треугольника и коэффициентом гомотетии -1/2 описанная окружность S треугольника ABC переходит в описанную окружность S₁ треугольника A₁B₁C₁. Так как окружность S₁ пересекает все стороны треугольника ABC, то можно построить треугольник A'B'C' со сторонами, параллельными сторонам треугольника ABC, для которого S₁ будет вписанной окружностью. Пусть r и r' — радиусы вписанных окружностей треугольников ABC и A'B'C'; R и R₁ — радиусы окружностей S и S₁. Ясно, что rr' = R₁ = R/2. Равенство достигается, если треугольники A'B'C' и ABC совпадают, т.е. S₁ — вписанная окружность треугольника ABC. В этом случае AB₁ = AC₁, поэтому AB = AC. Аналогично AB = BC.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	11
Год	1948
вариант
Класс	7,8
Тур	2
задача
Номер	2