Задача 77879

Темы:    [ Задачи на максимум и минимум (прочее) ] [ Скалярное произведение ]

Сложность: 4+ Классы: 10,11

Условие

Каково наибольшее возможное число лучей в пространстве, выходящих из одной точки и образующих попарно тупые углы?

Решение

Ответ: 4. Будем рассматривать вместо лучей векторы. Можно считать, что первый вектор имеет координаты (1, 0, 0). Тогда остальные векторы имеют координаты (x_i, y_i, z_i), где x_i < 0. Можно считать, что второй вектор имеет координаты (x₂, 1, 0). Тогда остальные векторы имеют координаты (x_i, y_i, z_i), где x₂x_i + y_i < 0. Числа x₂ и x_i отрицательные, поэтому x₂x_i > 0, а значит, y_i < 0. При i, j > 2 имеет место неравенство x_ix_j + y_iy_j + z_iz_j < 0. Но x_ix_j > 0 и y_iy_j > 0, поэтому z_iz_j < 0, т.е. числа z_i и z_j разного знака. Таких чисел не может быть больше двух.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	11
Год	1948
вариант
Класс	9,10
Тур	2
задача
Номер	4