ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 77887
Тема:    [ Иррациональные уравнения ]
Сложность: 5-
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Найти действительные корни уравнения:

x2 + 2ax + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{16}}$ = - a + $\displaystyle \sqrt{a^2+x-\frac{1}{16}}$    $\displaystyle \left(\vphantom{0<a<\frac{1}{4}}\right.$0 < a < $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$$\displaystyle \left.\vphantom{0<a<\frac{1}{4}}\right)$.


Решение

Пусть f$ \bf (x)$ — левая часть данного уравнения. График функции y = f$ \bf (x)$ представляет собой параболу. Если 0 < a < 1/4, то f$ \bf (x)>0$. Поэтому исходное уравнение эквивалентно уравнению

x2 + 2ax + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{16}}$ = - a±$\displaystyle \sqrt{a^2+x-\frac{1}{16}}$.

Правая часть уравнения (1) представляет собой обратную функцию f $ \bf ^{-1}(x)$. В самом деле, если y2 + 2ay + $ {\frac{1}{16}}$ = x, то y = - a±$ \sqrt{a^2+x-\frac{1}{16}}$. Чтобы найти действительные корни данного уравнения, нужно найти точки пересечения графиков y = f$ \bf (x)$ и y = f$ \bf ^{-1}(x)$. Графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой y = x, поэтому действительные корни данного уравнения являются в точности действительными корнями уравнения

x2 + 2ax + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{16}}$ = x.

Решив это уравнение, находим

x1, 2 = $\displaystyle {\frac{1-2a}{2}}$±$\displaystyle \sqrt{\left(\frac{1-2a}{2}\right)^2-\frac{1}{16}}$.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 12
Год 1949
вариант
Класс 9,10
Тур 1
задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .