Информация о задаче

Задача 77887

Тема:

[

Иррациональные уравнения

]

Сложность: 5-
Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Найти действительные корни уравнения:

x² + 2ax + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{16}}$ = - a + $\displaystyle \sqrt{a^2+x-\frac{1}{16}}$ $\displaystyle \left(\vphantom{0<a<\frac{1}{4}}\right.$ 0 < a < $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{0<a<\frac{1}{4}}\right)$ .

Решение

Пусть f $\bf (x)$ — левая часть данного уравнения. График функции y = f $\bf (x)$ представляет собой параболу. Если 0 < a < 1/4, то f $\bf (x)>0$ . Поэтому исходное уравнение эквивалентно уравнению

x² + 2ax + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{16}}$ = - a± $\displaystyle \sqrt{a^2+x-\frac{1}{16}}$ .

Правая часть уравнения (1) представляет собой обратную функцию f $\bf ^{-1}(x)$ . В самом деле, если y² + 2ay + ${\frac{1}{16}}$ = x, то y = - a± $\sqrt{a^2+x-\frac{1}{16}}$ . Чтобы найти действительные корни данного уравнения, нужно найти точки пересечения графиков y = f $\bf (x)$ и y = f $\bf ^{-1}(x)$ . Графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой y = x, поэтому действительные корни данного уравнения являются в точности действительными корнями уравнения

x² + 2ax + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{16}}$ = x.

Решив это уравнение, находим

x_{1, 2} = $\displaystyle {\frac{1-2a}{2}}$ ± $\displaystyle \sqrt{\left(\frac{1-2a}{2}\right)^2-\frac{1}{16}}$ .

Источники и прецеденты использования


олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	12
Год	1949
вариант
Класс	9,10
Тур	1
задача
Номер	3