Задача 77888
|
|
 |
Условие
Имеется 4n положительных чисел, таких, что из любых четырёх попарно различных
можно составить геометрическую прогрессию. Доказать, что среди этих чисел
найдется n одинаковых.
Решение
Покажем, что среди данных чисел не может быть больше четырёх попарно различных
чисел. Объединим равные числа в группы, выберем в каждой группе по одному
числу и расположим выбранные числа в порядке убывания:
a > b > c > d > e > .... Числа
a, b, c, d по условию образуют геометрическую прогрессию. Но ab > cd и
ac > bd, поэтому ad = bc, т.е. d = bc/a. Те же самые рассуждения показывают,
что e = bc/a.
Также доступны документы в формате TeX
