ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 77899
Тема:    [ Разрезания (прочее) ]
Сложность: 5
Классы: 9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что к квадрату нельзя приложить более 8 не налегающих друг на друга квадратов.

Решение

Пусть ABCD — исходный квадрат, A1B1C1D1 — квадрат с тем же центром, стороны которого параллельны сторонам исходного квадрата и имеют вдвое большую длину. Для определённости будем считать, что сторона исходного квадрата равна 2. Тогда периметр квадрата A1B1C1D1 равен 16. Поэтому достаточно доказать, что длина части периметра квадрата A1B1C1D1, высекаемой приложенным квадратом, не может быть меньше 2. Рассмотрим два возможных варианта расположения квадрата A1B1C1D1 и приложенного квадрата. 1) Ни одна вершина квадрата A1B1C1D1 не попадает внутрь приложенного квадрата. В этом случае рассматриваемая часть периметра является отрезком PQ. Если внутри квадрата A1B1C1D1 лежит только одна вершина приложенного квадрата (та, которая примыкает к исходному квадрату), то длина отрезка PQ равна tg$ \alpha$ + $ {\frac{1}{{\rm tg}\alpha}}$$ \ge$2; здесь $ \alpha$ — угол между стороной исходного квадрата и стороной приложенного квадрата. Если внутри квадрата A1B1C1D1 лежат две вершины приложенного квадрата, то отрезок PQ является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетом 2. 2) Одна вершина квадрата A1B1C1D1 попадает внутрь приложенного квадрата. Тогда длина рассматриваемой части периметра равна a + tg$ \alpha$ + 1 - atg$ \alpha$. Требуется доказать, что a + tg$ \alpha$ + 1 - atg$ \alpha$$ \ge$2, т.е. (a - 1)tg$ \alpha$$ \le$(a - 1). Но a$ \ge$1 и tg$ \alpha$$ \le$1.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 12
Год 1949
вариант
Класс 9,10
Тур 2
задача
Номер 6

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .