Информация о задаче

Задача 77899

Тема:

[

Разрезания (прочее)

]

Сложность: 5
Классы: 9,10

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что к квадрату нельзя приложить более 8 не налегающих друг на друга квадратов.

Решение

Пусть ABCD — исходный квадрат, A₁B₁C₁D₁ — квадрат с тем же центром, стороны которого параллельны сторонам исходного квадрата и имеют вдвое большую длину. Для определённости будем считать, что сторона исходного квадрата равна 2. Тогда периметр квадрата A₁B₁C₁D₁ равен 16. Поэтому достаточно доказать, что длина части периметра квадрата A₁B₁C₁D₁, высекаемой приложенным квадратом, не может быть меньше 2. Рассмотрим два возможных варианта расположения квадрата A₁B₁C₁D₁ и приложенного квадрата. 1) Ни одна вершина квадрата A₁B₁C₁D₁ не попадает внутрь приложенного квадрата. В этом случае рассматриваемая часть периметра является отрезком PQ. Если внутри квадрата A₁B₁C₁D₁ лежит только одна вершина приложенного квадрата (та, которая примыкает к исходному квадрату), то длина отрезка PQ равна tg $\alpha$ + ${\frac{1}{{\rm tg}\alpha}}$ $\ge$ 2; здесь $\alpha$ — угол между стороной исходного квадрата и стороной приложенного квадрата. Если внутри квадрата A₁B₁C₁D₁ лежат две вершины приложенного квадрата, то отрезок PQ является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетом 2. 2) Одна вершина квадрата A₁B₁C₁D₁ попадает внутрь приложенного квадрата. Тогда длина рассматриваемой части периметра равна a + tg $\alpha$ + 1 - atg $\alpha$ . Требуется доказать, что a + tg $\alpha$ + 1 - atg $\alpha$ $\ge$ 2, т.е. (a - 1)tg $\alpha$ $\le$ (a - 1). Но a $\ge$ 1 и tg $\alpha$ $\le$ 1.

Источники и прецеденты использования


олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	12
Год	1949
вариант
Класс	9,10
Тур	2
задача
Номер	6