Условие
Дано
n окружностей:
O1,
O2,...
On, проходящих через одну точку
O.
Вторые точки пересечения
O1 с
O2,
O2 с
O3,...,
O3 с
O1
обозначим соответственно через
A1,
A2,...,
An. На
O1 берем
произвольную точку
B1. Если
B1 не совпадает с
A1, то проводим через
B1 и
A1 прямую до второго пересечения с
O2 в точке
B2. Если
B2
не совпадает с
A2, то проводим через
B2 и
A2 прямую до второго
пересечения с
O3 в точке
B3. Продолжая таким образом, мы получим точку
Bn на окружности
On. Если
On не совпадает с
An, то проводим
через
Bn и
An прямую до второго пересечения с
O1 в точке
Bn + 1.
Докажите, что
Bn + 1 совпадает с
B1.
Решение
Пусть

(
AB,
CD) — ориентированный угол между прямыми
AB и
CD (он
измеряется с точностью до
180
o). Тогда

(
BnAn,
AnO) =

(
BnAn - 1,
An - 1O) =
Bn - 1An - 1,
An - 1O).
Аналогично получаем

(
Bn - 1An - 1,
An - 1O) =

(
Bn - 2An - 2,
An - 2O) = ... =

(
B1A1,
A1O).
Наконец,

(
B1A1,
A1O) =

(
B1An,
AnO). В итоге получаем

(
BnAn,
AnO) =

(
B1An,
AnO). Это означает,что точки
An,
B1 и
Bn лежат на одной прямой. Следовательно,
Bn + 1 =
Bn.
Источники и прецеденты использования