Задача 77909

Тема:    [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 3+ Классы: 9

Условие

Дано n окружностей: O₁, O₂,...O_n, проходящих через одну точку O. Вторые точки пересечения O₁ с O₂, O₂ с O₃,..., O₃ с O₁ обозначим соответственно через A₁, A₂,..., A_n. На O₁ берем произвольную точку B₁. Если B₁ не совпадает с A₁, то проводим через B₁ и A₁ прямую до второго пересечения с O₂ в точке B₂. Если B₂ не совпадает с A₂, то проводим через B₂ и A₂ прямую до второго пересечения с O₃ в точке B₃. Продолжая таким образом, мы получим точку B_n на окружности O_n. Если O_n не совпадает с A_n, то проводим через B_n и A_n прямую до второго пересечения с O₁ в точке B_{n + 1}. Докажите, что B_{n + 1} совпадает с B₁.

Решение

Пусть (AB, CD) — ориентированный угол между прямыми AB и CD (он измеряется с точностью до 180^o). Тогда (B_nA_n, A_nO) = (B_nA_{n - 1}, A_{n - 1}O) = B_{n - 1}A_{n - 1}, A_{n - 1}O). Аналогично получаем (B_{n - 1}A_{n - 1}, A_{n - 1}O) = (B_{n - 2}A_{n - 2}, A_{n - 2}O) = ... = (B₁A₁, A₁O). Наконец, (B₁A₁, A₁O) = (B₁A_n, A_nO). В итоге получаем (B_nA_n, A_nO) = (B₁A_n, A_nO). Это означает,что точки A_n, B₁ и B_n лежат на одной прямой. Следовательно, B_{n + 1} = B_n.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	13
Год	1950
вариант
Класс	9,10
Тур	1
задача
Номер	5