Информация о задаче

Задача 77919

Темы:	[	Четырехугольник (неравенства)	]
Темы:	[	Неравенства с углами	]

Сложность: 3
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

У выпуклых четырёхугольников ABCD и A'B'C'D' соответственные стороны равны. Доказать, что если $\angle$ A > $\angle$ A', то $\angle$ B < $\angle$ B', $\angle$ C > $\angle$ C' и $\angle$ D < $\angle$ D'.

Решение

Рассмотрим треугольники BAD и B'A'D'. По условию BA = B'A', AD = A'D' и $\angle$ A > $\angle$ A'. Из этого следует, что BD > B'D'. Рассмотрев теперь треугольники BCD и B'C'D' и воспользовавшись неравенством BD > B'D', получим $\angle$ C > $\angle$ C'. Рассмотрим теперь другие две пары треугольников: ABC и A'B'C', ADC и A'D'C'. Если бы имело место неравенство AC $\ge$ A'C', то мы получили бы неравенства $\angle$ B $\ge$ $\angle$ B' и $\angle$ D $\ge$ $\angle$ D'. А тогда оказалось бы, что сумма углов четырёхугольника ABCD больше суммы углов четырёхугольника A'B'C'D'; такого быть не может. Следовательно, AC < A'C', а поэтому $\angle$ B < $\angle$ B' и $\angle$ D < $\angle$ D'.

Источники и прецеденты использования


олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	14
Год	1951
вариант
Класс	7,8
Тур	1
задача
Номер	2