Задача 77923

Тема:    [ Многоугольники (экстремальные свойства) ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Из всех выпуклых многоугольников, у которых одна сторона равна a и сумма внешних углов при вершинах, не прилегающих к этой стороне, равна 120^o, выбрать многоугольник наибольшей площади.

Решение

Ответ: равносторонний треугольник со стороной a. Рассмотрим выпуклый n-угольник A₁...A_n со стороной A₁A_n = a, обладающий указанным свойством. Если n4, то этот n-угольник можно заменить на (n - 1)-угольник A₁...A_{n - 3}A_{n - 2}'A_{n - 1}', где A_{n - 1}' = A_n и A_{n - 2}' — точка пересечения лучей A_{n - 3}A_{n - 2} и A_nA_{n - 1} (эти лучи пересекаются, потому что сумма внешних углов при вершинах A_{n - 2} и A_{n - 1} меньше 180^o). Новый многоугольник имеет строго большую площадь. Поэтому достаточно рассмотреть случай треугольника. У рассматриваемых треугольников фиксирована сторона BC = a и противолежащий угол A (он равен 60^o). Точка A расположена на дуге окружности, из которой отрезок BC виден под углом 60^o. Поэтому высота, опущенная из точки A, максимальна в случае равнобедренного треугольника.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	14
Год	1951
вариант
Класс	9,10
Тур	1
задача
Номер	1