Задача 77947
|
|
 |
Условие
ABC разбит прямой BD на два треугольника. Докажите, что сумма
радиусов окружностей, вписанных в
ABD и
DBC, больше радиуса
окружности, вписанной в
ABC.
Решение
Пусть r, r1 и r2 — радиусы вписанных окружностей треугольников ABC,
ABD и BCD, p, p1 и p2 — их полупериметры, S, S1 и S2 —
их площади. Тогда S = S1 + S2, S = pr,
S1 = p1r1 и
S2 = p2r2. Поэтому
r = r1 +
r2. Но BD < BC + CD, поэтому p1 < p;
аналогично p2 < p. Следовательно, r < r1 + r2.
