Информация о задаче

Задача 77949

Тема:

[

Тождественные преобразования (тригонометрия)

]

Сложность: 3+
Классы: 11

Прислать комментарий

Условие

Найдите соотношение между

arcsin cos arcsin x и arccos sin arccos x.

Решение

Ответ: arcsin cos arcsin x + arccos sin arccos x = ${\frac{\pi}{2}}$ . Пусть arcsin cos arcsin x = α и arccos sin arccos x = β. Тогда 0 ≤ α, β ≤ π/2. Действительно, 0 ≤ cos arcsin x ≤ 1, поскольку - ${\frac{\pi}{2}}$ ≤ arcsin x ≤ ${\frac{\pi}{2}}$ , и 0 ≤ sin arccos x ≤ 1, поскольку 0 ≤ arccos x ≤ π. Далее, sinα = cos arcsin x, поэтому arcsin x = ± $\left(\vphantom{\frac{\pi}{2}-\alpha}\right.$ ${\frac{\pi}{2}}$ - α $\left.\vphantom{\frac{\pi}{2}-\alpha}\right)$ и sin $\left[\vphantom{\pm\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)}\right.$ ± $\left(\vphantom{\frac{\pi}{2}-\alpha}\right.$ ${\frac{\pi}{2}}$ - α $\left.\vphantom{\frac{\pi}{2}-\alpha}\right)$ $\left.\vphantom{\pm\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)}\right]$ = ±cos α; cos β = sin arccos x, поэтому arccos x = ${\frac{\pi}{2}}$ $\mp$ β и x = cos $\left(\vphantom{\frac{\pi}{2}\mp\beta}\right.$ ${\frac{\pi}{2}}$ $\mp$ β $\left.\vphantom{\frac{\pi}{2}\mp\beta}\right)$ = ±sin β. Из того, что cos α = sin β (= ±x), следует, что α + β = ${\frac{\pi}{2}}$ .

Источники и прецеденты использования


олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	15
Год	1952
вариант
Класс	10
Тур	1
задача
Номер	1