Задача 77952

Темы:    [ Исследование квадратного трехчлена ] [ Методы решения задач с параметром ] [ Квадратные уравнения. Теорема Виета ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Условие

Если при любом положительном p все корни уравнения  ax² + bx + c + p = 0  действительны и положительны, то коэффициент a равен нулю. Докажите.

Решение

  Если  a > 0,  то при больших положительных p дискриминант  D = b² – 4ac – 4ap  отрицателен, поэтому данное уравнение вообще не имеет действительных корней.
  Если  a < 0,  то при больших положительных p произведение корней отрицательно  (c + p  и a имеют разные знаки), поэтому один из корней отрицателен.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	15
Год	1952
вариант
Класс	10
Тур	1
задача
Номер	4