ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 77961
Темы:    [ Системы алгебраических нелинейных уравнений ]
[ Симметрические системы. Инволютивные преобразования ]
Сложность: 3
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Решить систему уравнений:   x1x2 = x2x3 = ... = xn–1xn = xnx1 = 1.


Решение

Ясно, что  x2 ≠ 0,  поэтому из первого уравнения получаем  x1 = x3.  Аналогично  x2 = x4  и т.д.
  Кроме того, для нечётного n  xn = x2,  то есть все неизвестные равны между собой. Отсюда     то есть  x1 = ±1.
  При чётном n  x1 = x3 = ... = xn–1x2 = x4 = ... = xn–2 = xn.


Ответ

x1 = x2 = ... = xn = ±1 при нечётном n,   x1 = x3 = ... = xn–1 = a  и  x2 = x4 = ... = xn = 1/a  (a ≠ 0)  при чётном n.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 15
Год 1952
вариант
Класс 9
Тур 2
задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .