Условие
Пусть x0 = 109,
xn = 
. Доказать, что 0 < x36 – 
< 10–9.
Решение
xn – = – = 
(xn–1 – )² > 0.
Кроме того, учитывая, что 
< 1, получаем xn – < 
, (1)
а, учитывая, что xn–1 > 1, получаем xn – < 
. (2)
Из неравенства (1) следует, что xn – < x0·2–n. В частности, x30 – < 109·2–30 = (1000/1024)³ < 1. Теперь, воспользовавшись неравенством (2), получим x31 – < ½,
x32 – < 2–3,
x33 – < 2–7,
x34 – < 2–15,
x35 – < 2–31,
x36 – < 2–63 < 2–30 < 10–9.
Источники и прецеденты использования
