Задача 78007

Темы:    [ Равногранный тетраэдр ] [ Неравенства для остроугольных треугольников ]

Сложность: 5 Классы: 10,11

Условие

Существуют ли в пространстве четыре точки A, B, C, D такие, что AB = CD = 8 см, AC = BD = 10 см, AD = BC = 13 см?

Решение

Ответ: нет, не существуют. Неравенство 8² + 10² < 13² показывает, что треугольник ABC тупоугольный. Покажем, что если все грани тетраэдра ABCD равны, то треугольник ABC должен быть остроугольным. Любому тетраэдру можно сопоставить параллелепипед, проведя через каждое ребро тетраэдра плоскость, параллельную противоположному ребру. Если исходный тетраэдр равногранный, то грани полученного параллелепипеда являются параллелограммами с равными диагоналями, т.е. прямоугольниками. Таким образом, равногранному тетраэдру соответствует прямоугольный параллелепипед. Если длины рёбер этого параллелепипеда равны a, b, c, то квадраты длин рёбер исходного тетраэдра равны a² + b², b² + c², c² + a². Неравенства (a² + b²) + (b² + c²) > c² + a² и т.п. показывают, что грани исходного тетраэдра являются остроугольными треугольниками.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	17
Год	1954
вариант
Класс	10
Тур	1
задача
Номер	5
олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	17
Год	1954
вариант
Класс	9
Тур	1
задача
Номер	5