ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 78007
Темы:    [ Равногранный тетраэдр ]
[ Неравенства для остроугольных треугольников ]
Сложность: 5
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Существуют ли в пространстве четыре точки A, B, C, D такие, что AB = CD = 8 см, AC = BD = 10 см, AD = BC = 13 см?

Решение

Ответ: нет, не существуют. Неравенство 82 + 102 < 132 показывает, что треугольник ABC тупоугольный. Покажем, что если все грани тетраэдра ABCD равны, то треугольник ABC должен быть остроугольным. Любому тетраэдру можно сопоставить параллелепипед, проведя через каждое ребро тетраэдра плоскость, параллельную противоположному ребру. Если исходный тетраэдр равногранный, то грани полученного параллелепипеда являются параллелограммами с равными диагоналями, т.е. прямоугольниками. Таким образом, равногранному тетраэдру соответствует прямоугольный параллелепипед. Если длины рёбер этого параллелепипеда равны a, b, c, то квадраты длин рёбер исходного тетраэдра равны a2 + b2, b2 + c2, c2 + a2. Неравенства (a2 + b2) + (b2 + c2) > c2 + a2 и т.п. показывают, что грани исходного тетраэдра являются остроугольными треугольниками.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 17
Год 1954
вариант
Класс 10
Тур 1
задача
Номер 5
олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 17
Год 1954
вариант
Класс 9
Тур 1
задача
Номер 5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .