Задача 78021

Темы:    [ Симметрия относительно плоскости ] [ Тетраэдр и пирамида ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Условие

Сколько плоскостей симметрии может иметь треугольная пирамида?

Решение

Ответ: 0, 1, 2, 3 или 6. Действительно, плоскость симметрии треугольной пирамиды ABCD обязательно содержит две её вершины. Действительно, если бы были две пары вершин, симметричных относительно одной плоскости, то все четыре вершины пирамиды лежали бы в одной плоскости. Поэтому плоскость симметрии однозначно задаётся парой вершин A и B, лежащих в ней. При этом AC = BC и AD = BD.
Предположим, что есть две плоскости симметрии. Задающие их пары вершин могут либо иметь общую вершину (рис.а), либо не иметь (рис.б). В первом случае мы получаем правильную пирамиду, которая имеет либо 3 плоскость симметрии, либо 6 (когда длина бокового ребра равны длине ребра основания, т.е. в случае правильного тетраэдра). Во втором случае пирамида имеет либо 2 плоскости симметрии, либо 6 (если c = d ≠ a, то новых плоскостей симметрии не возникает).

Ответ

0, 1, 2, 3 или 6.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	17
Год	1954
вариант
Класс	10
Тур	2
задача
Номер	1