Условие
Числа 1, 2, ..., k² расположены в квадратную таблицу
Произвольное число выписывается, после чего из таблицы вычеркивается строка и столбец, содержащие это число. То же самое проделывается с оставшейся таблицей из (
k – 1)² чисел и т.д.
k раз. Найти сумму выписанных чисел.
Решение
Запишем данную таблицу в виде
Каждое число таблицы представлено в виде
ka + b, где 0 ≤
a &le k – 1 и 1 ≤
b ≤ k. Будем отдельно суммировать слагаемые
ka и слагаемые
b. Из каждой строки выписано в точности одно число, поэтому будут присутствовать слагаемые
ka для каждого
a = 0, 1, ...,
k – 1. Из каждого столбца выписано в точности одно число, поэтому будут присутствовать слагаемые
b для каждого
b = 1, 2, ...,
k. Таким образом, искомая сумма равна
k(0 + 1 + 2 + ... + (
k – 1)) + (1 + 2 + ... +
k) = ½
k(
k(
k – 1) + (
k + 1)) = ½
k(
k² + 1)).
Ответ
½ k(k² + 1)).
Источники и прецеденты использования
