Условие
Найти геометрическое место середин отрезков с концами на двух различных
непересекающихся окружностях, лежащих одна вне другой.
Решение
Пусть
S1 и
S2 — данные окружности,
O1 и
O2 — их центры.
Рассмотрим окружность
S2', которая получается из окружности
S2 переносом
на вектор
![$ \overrightarrow{O_2O_1}$](show_document.php?id=1055480)
; центр этой окружности совпадает с центром
окружности
S1. Пусть
A1 — точка окружности
S1,
A2 и
A2'
-- точки окружностей
S2 и
S2', соответствующие друг другу. Если
M —
середина отрезка
A1A2, а
M' — середина отрезка
A1A2', то
![$ \overrightarrow{MM'}$](show_document.php?id=1055481)
=
![$ {\frac{1}{2}}$](show_document.php?id=1055484)
![$ \overrightarrow{O_1O_2}$](show_document.php?id=1055485)
. Поэтому можно
рассмотреть случай, когда даны две концентрические окружности: полученное ГМТ
нужно просто сдвинуть на вектор
![$ {\frac{1}{2}}$](show_document.php?id=1055484)
![$ \overrightarrow{O_1O_2}$](show_document.php?id=1055485)
.
Пусть
O — общий центр двух окружностей радиусов
R и
r, причём
R
r.
Фиксируем на окружности радиуса
r точку
A и рассмотрим середины всех
отрезков
AB, где точка
B перемещается по окружности радиуса
R. Они
образуют окружность, причём её сама близкая к
O точка находится на расстоянии
![$ {\frac{R-r}{2}}$](show_document.php?id=1055489)
, а самая далёкая — на расстоянии
![$ {\frac{R+r}{2}}$](show_document.php?id=1055490)
. Если точка
A будет двигаться по всей окружности, то мы получим кольцо с внутренним
радиусом
![$ {\frac{R-r}{2}}$](show_document.php?id=1055489)
и внешним радиусом
![$ {\frac{R+r}{2}}$](show_document.php?id=1055490)
(если
R =
r, то
получается не кольцо, а круг).
Источники и прецеденты использования