Информация о задаче

Задача 78040

Темы:	[	Аффинные преобразования и их свойства	]
Темы:	[	Аналитический метод в геометрии	]

Сложность: 4-
Классы: 11

Прислать комментарий

Условие

На плоскости даны две прямые, пересекающиеся под острым углом. В направлении одной из прямых производится сжатие с коэффициентом 1/2. Доказать, что найдется точка, расстояние от которой до точки пересечения прямых увеличится.

Решение

Пусть e₁ и e₂ — векторы единичной длины на данных прямых l₁ и l₂. Сжатие с коэффициентом 1/2 в направлении прямой l₁ переводит вектор $\lambda$ e₁ + $\mu$ e₂ в вектор $\lambda$ e₁ + ${\frac{\mu}{2}}$ e₂. Пусть $\varphi$ -- угол между векторами e₁ и e₂. Длина первого вектора равна $\lambda^{2}_{}$ + $\mu^{2}_{}$ + 2 $\lambda$ $\mu$ cos $\varphi$ , а длина второго вектора равна $\lambda^{2}_{}$ + ${\frac{\mu^2}{4}}$ + $\lambda$ $\mu$ cos $\varphi$ . Нужно выбрать числа $\lambda$ и $\mu$ так, что $\lambda^{2}_{}$ + ${\frac{\mu^2}{4}}$ + $\lambda$ $\mu$ cos $\varphi$ > $\lambda^{2}_{}$ + $\mu^{2}_{}$ + 2 $\lambda$ $\mu$ cos $\varphi$ , т.е. ${\frac{3}{4}}$ $\mu^{2}_{}$ < - $\lambda$ $\mu$ cos $\varphi$ . При $\mu$ = 1 это неравенство эквивалентно неравенству ${\frac{3}{4}}$ < - $\lambda$ cos $\varphi$ .

Источники и прецеденты использования


олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	18
Год	1955
вариант
Класс	10
Тур	1
задача
Номер	3