Задача 78043
|
|
 |
Условие
Трёхчлен ax² + bx + c при всех целых x является точной четвёртой степенью. Доказать, что тогда a = b = 0.
Решение
Ясно, что a ≥ 0 и c ≥ 0. Рассмотрим значения x, равные 1, 2, ..., n. Если хотя бы одно из чисел a и b отлично от нуля, то трёхчлен ax² + bx + c при таких x принимает по крайней мере n/2 различных значений. Эти значения заключены между 0 и an² + |b|n + c. Но количество различных точных четвёртых степеней, заключённых в этих пределах, не превосходит + 1. Поэтому
+ 1 ≥ n/2, то есть an² + |b|n + c ≥ (n/2 – 1)4. При больших n такое неравенство выполняться не может, поскольку n4/16 будет гораздо больше чем an².
