Информация о задаче

Задача 78050

Тема:

[

Неравенство треугольника

]

Сложность: 5
Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Неравенство

Aa(Bb + Cc) + Bb(Cc + Aa) + Cc(Aa + Bb) > $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ (ABc² + BCa² + CAb²),

где a > 0, b > 0, c > 0 — данные числа, выполняется для всех A > 0, B > 0, C > 0. Можно ли из отрезков a, b, c составить треугольник?

Решение

Ответ: да, можно. Положим A = B = 1, C = $\varepsilon$ . Тогда

a(b + $\displaystyle \varepsilon$ c) + b( $\displaystyle \varepsilon$ c + a) + $\displaystyle \varepsilon$ c(a + b) > $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ (c² + $\displaystyle \varepsilon$ a² + $\displaystyle \varepsilon$ b²).(1)

Поэтому должно выполняться неравенство 2ab $\ge$ ${\frac{1}{2}}$ c², поскольку иначе неравенство (1) не выполнялось бы при малых $\varepsilon$ . Значит, c² $\le$ 4ab $\le$ (a + b)². Числа a, b, c положительны, поэтому c $\le$ a + b. Неравенства a $\le$ b + c и b $\le$ a + c доказываются аналогично.

Источники и прецеденты использования


олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	18
Год	1955
вариант
Класс	8
Тур	2
задача
Номер	4