Условие
На плоскости
P стоит прямой круговой конус. Радиус основания
r, высота —
h. На расстоянии
H от плоскости и
l от высоты конуса находится источник
света. Какую часть окружности радиуса
R, лежащей в плоскости
P и
концентрической с окружностью, лежащей в основании конуса, осветит этот
источник?
Решение
Рассмотрим сначала случай, когда
H >
h. Пусть
S — вершина конуса,
S' —
точка пересечения плоскости основания конуса с прямой, проходящей через точку
S и источник света. Покажем, что тень от конуса представляет собой фигуру,
заштрихованную на рис. (а). Действительно, если
A — точка основания
конуса, то тень отрезка
SA — это отрезок
S'A. Аналогичные рассуждения
показывают, что если
H =
h, то тень — это множество, изображённое на
рис. (б), а если
H <
h, то то тень — это множество, изображённое на
рис. (в).
Несложные вычисления с подобными треугольниками показывают, что расстояние от
точки
S' до центра конуса равно
=
s. Пусть
cos
=
r/
R и
cos
=
r/
S. При
H >
h угловая величина неосвещённой
дуги равна
-
; при
H =
h она равна
-
; при
H <
h она равна
- (
+
).
Источники и прецеденты использования
