Условие
Докажите, что не существует на плоскости четырех точек
A,
B,
C и
D
таких, что все треугольники
ABC,
BCD,
CDA,
DAB остроугольные.
Решение
Мы предполагаем, что никакие три из четырёх данных точек не лежат на одной
прямой. Возможны два различных расположения четырёх точек на плоскости.
1) Точки
A,
B,
C и
D являются вершинами выпуклого четырёхугольника.
Сумма углов четырёхугольника равна
360
o, поэтому не все его углы
острые. Возьмём не острый угол четырёхугольника; ему соответствует не
остроугольный треугольник.
2) Точки
A,
B,
C и
D не являются вершинами выпуклого четырёхугольника.
Тогда одна из них лежит внутри треугольника с вершинами в остальных точках.
Пусть для определённости точки
D лежит внутри треугольника
ABC. Сумма трёх
углов с вершиной
D равна
360
o, поэтому один из них не меньше
120
o. Значит, угол при вершине
D в одном из треугольников
BCD,
CDA,
DAB не острый.
Источники и прецеденты использования
