Выбрано 7 задач 
Убрать все задачи
В результате измерения четырёх сторон и одной из диагоналей некоторого четырёхугольника получились числа: 1; 2; 2,8; 5; 7,5. Чему равна длина измеренной диагонали?
Найти скорость и длину поезда, если известно, что он проходит мимо неподвижного наблюдателя в течение 7 секунд и затратил 25 секунд, чтобы проехать вдоль платформы длиной в 378 м.
Моторная лодка в 9 часов отправилась вверх по течению реки, и в момент её отправления с лодки был брошен в реку мяч. В 9:15 лодка повернула и поплыла по течению. В котором часу лодка догонит мяч, если известно, что её собственная скорость оставалась неизменной?
Два парома одновременно отходят от противоположных берегов реки и пересекают её перпендикулярно берегам. Скорости паромов постоянны, но не равны. Паромы встречаются на расстоянии 720 м от берега, после чего продолжают движение. На обратном пути они встречаются в 400 м от другого берега. Какова ширина реки?
При каких значениях параметра a сумма квадратов корней уравнения x2 + 2ax + 2a2 + 4a + 3 = 0 является наибольшей? Чему равна эта сумма? (Корни рассматриваются с учётом кратности.)
В четырёх заданных точках на плоскости расположены прожекторы, каждый из которых может освещать прямой угол. Стороны этих углов могут быть направлены на север, юг, запад или восток. Доказать, что эти прожекторы можно направить так, что они осветят всю плоскость.
Какое наименьшее число точек можно выбрать на окружности длины 1956 так, чтобы для каждой из этих точек нашлась ровно одна выбранная точка на расстоянии 1 и ровно одна на расстоянии 2 (расстояния измеряются по окружности)?
|
|
 |
Условие
Какое наименьшее число точек можно выбрать на окружности длины 1956 так,
чтобы для каждой из этих точек нашлась ровно одна выбранная точка на расстоянии
1 и ровно одна на расстоянии 2 (расстояния измеряются по окружности)?
Решение
Ответ: 1304. Пусть A — одна из выбранных точек, B и C — выбранные точки, удалённые от неё на расстояния 1 и 2 соответственно. Расположение в порядке ABC невозможно, поскольку в таком случае для точки B есть две выбранные точки на расстоянии 1. Поэтому точки расположены в таком порядке: C AB (или BA C). Пусть D — точка, удалённая от C на расстояние 1. Расположение CDAB, очевидно, невозможно. Поэтому расположение такое: DC AB. Пусть, далее, E — точка, удалённая от B на расстояние 1. Она расположена следующим образом: DC AB E. Продолжая эти рассуждения, мы увидим, что окружность длины 1956 окажется разбитой на 1956/3 = 652 дуги длины 3 (концами этих дуг служат точки A, C, E, ...). На каждой дуге лежит одна точка. Всего получаем 2 . 652 = 1304 точки. Все эти точки обязательно должны присутствовать.
