Условие
На сторонах
AB и
CB треугольника
ABC откладываются равные отрезки
произвольной длины
AD и
CE. Найти геометрическое место середин отрезков
DE.
Решение
Пусть
X — середина отрезка
DE,
M — середина отрезка
AC. Достроим
треугольники
ADX и
CEX до параллелограммов
ADXA' и
CEXC'. Точка
X
является серединой отрезка
DE, поэтому отрезки
AA' и
C'C равны. Ясно
также, что эти отрезки параллельны, а значит,
AA'CC' — параллелограмм.
Поэтому точка
M — середина отрезка
A'C'. Из равенства отрезков
AD и
CE следует, что треугольник
A'XC' равнобедренный. Поэтому его медиана
XM
является также и биссектрисой. Следовательно, прямая
XM параллельна
биссектрисе угла
B треугольника
ABC. Таким образом, точка
X лежит на
фиксированной прямой, проходящей через точку
M. Искомое ГМТ — отрезок этой
прямой, лежащий внутри треугольника
ABC.
Источники и прецеденты использования
