|
|
 |
Условие
На сторонах AB и CB треугольника ABC откладываются равные отрезки
произвольной длины AD и CE. Найти геометрическое место середин отрезков
DE.
Решение
Пусть X — середина отрезка DE, M — середина отрезка AC. Достроим треугольники ADX и CEX до параллелограммов ADXA' и CEXC'. Точка X является серединой отрезка DE, поэтому отрезки AA' и C'C равны. Ясно также, что эти отрезки параллельны, а значит, AA'CC' — параллелограмм. Поэтому точка M — середина отрезка A'C'. Из равенства отрезков AD и CE следует, что треугольник A'XC' равнобедренный. Поэтому его медиана XM является также и биссектрисой. Следовательно, прямая XM параллельна биссектрисе угла B треугольника ABC. Таким образом, точка X лежит на фиксированной прямой, проходящей через точку M. Искомое ГМТ — отрезок этой прямой, лежащий внутри треугольника ABC.
