Задача 78071

Темы:    [ Высота пирамиды (тетраэдра) ] [ ГМТ в пространстве (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Условие

Даны положительные числа h, s₁, s₂ и расположенный в пространстве треугольник ABC. Сколькими способами можно выбрать точку D так, чтобы в тетраэдре ABCD высота, опущенная из вершины D, была равна h, а площади граней ACD и BCD соответственно s₁ и s₂ (исследовать все возможные случаи)?

Решение

Ответ: 0, 2, 4 или 8. Чтобы высота, опущенная из вершины D, была равна h, точка D должна лежать в одной из двух плоскостей П₁ и П₂, параллельных плоскости ABC. Чтобы площадь грани ACD была равна s₁, точка D должна лежать на цилиндре с осью AC, а чтобы площадь грани BCD была равна s₂, точка D должна лежать на цилиндре с осью BC. Пересечение плоскости П₁ с первым цилиндром — это либо пара прямых, либо одна прямая, либо пустое множество, причём прямые должны быть параллельны AC. Для второго цилиндра получаются прямые, параллельные прямой BC, которая пересекает прямую AC. Поэтому при пересечении цилиндров плоскостью П₁ получается либо пустое множество, либо пара пересекающихся прямых, либо прямая, пересекающая пару параллельных прямых, либо пара параллельных прямых, пересекающая другую пару параллельных прямых. Количество точек, принадлежащих обоим цилиндрам и плоскости, равно соответственно 0, 1, 2 и 4. Столько же точек пересечения получаем и для плоскости П₂.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	19
Год	1956
вариант
Класс	9
Тур	1
задача
Номер	4