|
|
 |
Условие
В треугольник вписан квадрат так, что две его вершины лежат на основании, а
две другие вершины — на боковых сторонах треугольника. Доказать, что сторона
квадрата меньше 2r, но больше r, где r — радиус окружности,
вписанной в треугольник.
Решение
Пусть две вершины рассматриваемого квадрата лежат на стороне AB. Окружность
S1, вписанная в этот квадрат, касается стороны AB и расположена строго
внутри данного треугольника ABC (она заведомо не касается сторон AC и
BC). Поэтому существует треугольник A1B1C1, стороны которого
параллельны сторонам треугольника ABC и касаются окружности S1, а сам он
расположен внутри треугольника ABC, причём не совпадает с ним. Следовательно,
радиус окружности S1 меньше r. Но сторона квадрата равна удвоенному
радиусу окружности S1.
Рассмотрим теперь окружность S2, описанную вокруг квадрата. Она имеет общую
точку с каждой стороной треугольника ABC, причём по крайней мере стороны AB
она не касается. Поэтому существует треугольник A2B2C2, стороны которого
параллельны сторонам треугольника ABC и касаются окружности S2, а сам он
содержит треугольник ABC, причём не совпадает с ним. Следовательно,
радиус окружности S2 больше r. Но сторона квадрата равна радиусу
окружности S2, умноженному на .
