Задача 78072

Темы:    [ Геометрические неравенства (прочее) ] [ Гомотетичные окружности ]

Сложность: 4 Классы: 11

Условие

В треугольник вписан квадрат так, что две его вершины лежат на основании, а две другие вершины — на боковых сторонах треугольника. Доказать, что сторона квадрата меньше 2r, но больше r, где r — радиус окружности, вписанной в треугольник.

Решение

Пусть две вершины рассматриваемого квадрата лежат на стороне AB. Окружность S₁, вписанная в этот квадрат, касается стороны AB и расположена строго внутри данного треугольника ABC (она заведомо не касается сторон AC и BC). Поэтому существует треугольник A₁B₁C₁, стороны которого параллельны сторонам треугольника ABC и касаются окружности S₁, а сам он расположен внутри треугольника ABC, причём не совпадает с ним. Следовательно, радиус окружности S₁ меньше r. Но сторона квадрата равна удвоенному радиусу окружности S₁. Рассмотрим теперь окружность S₂, описанную вокруг квадрата. Она имеет общую точку с каждой стороной треугольника ABC, причём по крайней мере стороны AB она не касается. Поэтому существует треугольник A₂B₂C₂, стороны которого параллельны сторонам треугольника ABC и касаются окружности S₂, а сам он содержит треугольник ABC, причём не совпадает с ним. Следовательно, радиус окружности S₂ больше r. Но сторона квадрата равна радиусу окружности S₂, умноженному на .

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	19
Год	1956
вариант
Класс	10
Тур	1
задача
Номер	1