ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 78074
Темы:    [ Пространственные многоугольники ]
[ Проектирование помогает решить задачу ]
[ Ортогональная проекция (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Дана замкнутая пространственная ломаная. Некоторая плоскость пересекает все её звенья: A1A2 в точке B1, A2A3 — в точке B2, ..., AnA1 -- в точке Bn. Докажите, что

$\displaystyle {\frac{A_1B_1}{B_1A_2}}$$\displaystyle {\frac{A_2B_2}{B_2A_3}}$...$\displaystyle {\frac{A_nB_n}{B_nA_1}}$ = 1.


Решение

Рассмотрим проекцию на прямую, ортогональную плоскости сечения. Все точки B1, ..., Bn проецируются в одну и ту же точку B. Пусть A1', ..., An' — проекции точек A1, ..., An. Тогда

$\displaystyle {\frac{A_1B_1}{B_1A_2}}$$\displaystyle {\frac{A_2B_2}{B_2A_3}}$...$\displaystyle {\frac{A_nB_n}{B_nA_1}}$ = $\displaystyle {\frac{A_1'B}{BA_2'}}$$\displaystyle {\frac{A_2'B}{BA_3'}}$...$\displaystyle {\frac{A_n'B}{BA_1'}}$ = 1.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 19
Год 1956
вариант
Класс 10
Тур 1
задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .