Задача 78089

Темы:    [ Многоугольники и многогранники с вершинами в узлах решетки ] [ Метод координат на плоскости ]

Сложность: 4+ Классы: 10,11

Условие

На клетчатой бумаге выбраны три точки A, B, C, находящиеся в вершинах клеток. Докажите, что если треугольник ABC остроугольный, то внутри или на сторонах его есть по крайней мере еще одна вершина клетки.

Решение

Построим прямоугольник со сторонами, идущими по линиям клетчатой бумаги, так, чтобы вершины A, B, C лежали на его сторонах. Ни одна из вершин A, B, C не может оказаться внутри этого прямоугольника, поскольку иначе угол при этой вершине был бы тупым. По крайней мере одна из точек A, B, C лежит на стороне прямоугольника, а не в его вершине, поскольку иначе треугольник ABC был бы прямоугольным. Пусть для определённости вершина A лежит на стороне прямоугольника. Введём на плоскости координаты, выбрав точку A в качестве начала координат, а эту сторону прямоугольника — в качестве оси Ox. Ось Oy направим так, чтобы прямоугольник лежал в полуплоскости y 0. Ни одна из вершин B и C не лежит на оси Ox, поскольку иначе угол при вершине A был бы тупым. Таким образом, если точки B и C имеют координаты (x₁, y₁) и (x₂, y₂), то y₁, y₂1, а числа x₁ и x₂ имеют разные знаки. Поэтому точка с координатами (0, 1) лежит внутри треугольника ABC или на его стороне BC.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	19
Год	1956
вариант
Класс	9
Тур	2
задача
Номер	5