Задача 78097
|
|
 |
Условие
От A до B 999 км. Вдоль дороги стоят километровые столбы, на которых написаны расстояния до A и до B:Сколько среди них таких, на которых имеются только две различные цифры?
Решение
Если число слева составлено из цифр a, b, c, то число слева составлено из цифр a1 = 9 – a, b1 = 9 – b и c1 = 9 – c. Если a = b = c, то требуемое условие выполняется. Таких столбов ровно 10.
Пусть теперь среди цифр a, b, c есть ровно две различных. Среди цифр a1, b1, c1 будут в точности те же самые две цифры тогда и только тогда, когда эти две цифры в сумме дают 9. Таких пар цифр 5: (0, 9), (1, 8), (2, 7), (3, 6) и (4, 5). Трёхзначных чисел, записывающихся двумя данными цифрами ровно шесть: три из них записываются двумя цифрами a и одной цифрой b, а ещё три – одной цифрой a и двумя цифрами b. Так мы получаем ещё 5·6 = 30 столбов.
