Условие
Найти геометрическое место четвёртых вершин прямоугольников, три вершины
которых лежат на двух данных концентрических окружностях, а стороны параллельны
двум данным прямым.
Решение
Ответ: три концентрические окружности (с тем же центром) с радиусами r,
R и
, где R > r — радиусы исходных окружностей.
Пусть вершины A, B и D прямоугольника ABCD лежат на двух
концентрических окружностях. Противоположные вершины B и D не могут лежать
на меньшей окружности. Действительно, если вершина A лежит на большей
окружности, а вершины B и D — на меньшей, то
BAD = 90o и
поэтому B и D — концы диаметра большей окружности, чего не может быть.
Поэтому возможны следующие два варианта.
1) Две соседние вершины вершины лежат на одной окружности, а третья вершина —
на второй. Тогда четвёртая вершины тоже лежит на второй окружности. В
результате получаем исходные окружности.
2) Противоположные вершины B и D лежат на большей окружности, а вершина A
-- на меньшей. Пусть O — общий центр окружностей. Тогда OA = r, OB = OD = R.
Поэтому
OC = 
= ; равенство
OB2 - OA2 = OC2 - OD2 легко проверяется с помощью теоремы Пифагора.
Источники и прецеденты использования
