Условие
Найти геометрическое место четвёртых вершин прямоугольников, три вершины
которых лежат на двух данных концентрических окружностях, а стороны параллельны
двум данным прямым.
Решение
Ответ: три концентрические окружности (с тем же центром) с радиусами
r,
R и
, где
R >
r — радиусы исходных окружностей.
Пусть вершины
A,
B и
D прямоугольника
ABCD лежат на двух
концентрических окружностях. Противоположные вершины
B и
D не могут лежать
на меньшей окружности. Действительно, если вершина
A лежит на большей
окружности, а вершины
B и
D — на меньшей, то
BAD = 90
o и
поэтому
B и
D — концы диаметра большей окружности, чего не может быть.
Поэтому возможны следующие два варианта.
1) Две соседние вершины вершины лежат на одной окружности, а третья вершина —
на второй. Тогда четвёртая вершины тоже лежит на второй окружности. В
результате получаем исходные окружности.
2) Противоположные вершины
B и
D лежат на большей окружности, а вершина
A
-- на меньшей. Пусть
O — общий центр окружностей. Тогда
OA =
r,
OB =
OD =
R.
Поэтому
OC =
=
; равенство
OB2 -
OA2 =
OC2 -
OD2 легко проверяется с помощью теоремы Пифагора.
Источники и прецеденты использования
