Задача 78100
|
|
 |
Условие
В прямоугольной таблице произведение суммы чисел любого столбца на сумму чисел
любой строки равно числу, стоящему на их пересечении.
Доказать, что сумма всех чисел в таблице равна единице, или все числа равны нулю.
Решение
Пусть x1, ..., xn – суммы чисел в строках, y1, ..., ym – суммы чисел в столбцах. На пересечении i-й строки и j-го столбца стоит число xiyj. Поэтому сумма чисел в i-й строке равна xiy1 + xiy2 + ... + xiym. С другой стороны, эта сумма равна xi. Таким образом, xi = xi(y1 + y2 + ... + ym). Сумма y1 + y2 + ... + ym – это как раз сумма всех чисел в таблице. Если она не равна 1, то xi = 0. Аналогично доказывается, что в таком случае все числа x1, ..., xn, y1, ..., ym равны 0. Но тогда и все числа xiyj равны 0.
