ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 78107
Темы:    [ Перпендикулярные прямые в пространстве ]
[ Периодичность и непериодичность ]
[ Подсчет двумя способами ]
[ Делимость чисел. Общие свойства ]
[ Пространственные многоугольники ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В пространстве построена замкнутая ломаная так, что все звенья имеют одинаковую длину и каждые три последовательных звена попарно перпендикулярны. Доказать, что число звеньев делится на 6.


Решение

Пусть e1, e2, e3 – векторы трёх последовательных звеньев данной ломаной. После векторов e2, e3 должен идти перпендикулярный им вектор, то есть вектор ± e1. Продолжая эти рассуждения, получаем, что последовательность векторов звеньев имеет вид e1, e2, e3, ± e1, ± e2, ± e3, ... . Поэтому число звеньев ломаной кратно 3. Ясно также, что количество звеньев e1 должно быть равно количеству звеньев – e1. То же самое верно для e2 и e3. Поэтому число звеньев чётно.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 20
Год 1957
вариант
Класс 10
Тур 1
задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .