Задача 78107

Темы:    [ Перпендикулярные прямые в пространстве ] [ Периодичность и непериодичность ] [ Подсчет двумя способами ] [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Пространственные многоугольники ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Условие

В пространстве построена замкнутая ломаная так, что все звенья имеют одинаковую длину и каждые три последовательных звена попарно перпендикулярны. Доказать, что число звеньев делится на 6.

Решение

Пусть e₁, e₂, e₃ – векторы трёх последовательных звеньев данной ломаной. После векторов e₂, e₃ должен идти перпендикулярный им вектор, то есть вектор ± e₁. Продолжая эти рассуждения, получаем, что последовательность векторов звеньев имеет вид e₁, e₂, e₃, ± e₁, ± e₂, ± e₃, ... . Поэтому число звеньев ломаной кратно 3. Ясно также, что количество звеньев e₁ должно быть равно количеству звеньев – e₁. То же самое верно для e₂ и e₃. Поэтому число звеньев чётно.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	20
Год	1957
вариант
Класс	10
Тур	1
задача
Номер	2