|
|
 |
Условие
В треугольник вписана окружность, и точки касания её со сторонами треугольника соединены между собой. В полученный таким образом треугольник вписана новая окружность, точки касания которой со сторонами являются вершинами третьего треугольника, имеющего те же углы, что и первоначальный треугольник. Найти эти углы.
Решение
Пусть вписанная окружность касается сторон AB, BC, CA в точках C1, A1, B1. Треугольники A1BC1 и A1CB1 равнобедренные; их углы при основаниях равны ½ (180° – ∠B) и ½ (180° – ∠C). Следовательно, ∠A1 = ½ (∠B + ∠C). Аналогично ∠B1 = ½ (∠A + ∠C) и ∠C1 = ½ (∠A + ∠B). Аналогичные вычисления для второго треугольника показывают, что ∠A2 = ½ (∠B1 + ∠C1) = ½ (2∠A + ∠B + ∠C), ∠B2 = ½ (2∠B + ∠A + ∠C) и
∠C2 = ½ (2∠C + ∠A + ∠B). Пусть для определённости ∠A ≤ ∠B ≤ ∠C. Тогда ∠A2 ≤ ∠B2 ≤ ∠C2. Таким образом, из данного условия следует, что
∠A = ∠A2, то есть 2∠A = ∠B + ∠C. Учитывая неравенство ∠A ≤ ∠B ≤ ∠C, получаем ∠A = ∠B = ∠C.
Ответ
Все углы равны 60°.
