Задача 78114

Темы:    [ Числа Фибоначчи ] [ Линейные неравенства и системы неравенств ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Дана последовательность чисел 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ..., в которой каждое число, начиная с третьего, равно сумме двух предыдущих. В этой последовательности выбрано восемь чисел подряд. Докажите, что их сумма не равна никакому числу рассматриваемой последовательности.

Решение

Пусть  S = a_k+1 + a_k+2 + ... + a_k+8 – сумма восьми идущих подряд членов последовательности. Достаточно доказать, что  a_k+9 < S < a_k+10.  Левое неравенство очевидно:  S > a_k+7 + a_k+8 = a_k+9.  Докажем правое неравенство. Ясно, что
a_k+10 = a_k+8 + a_k+9 = a_k+8 + a_k+7 + a_k+8 = a_k+6 + a_k+7 + a_k+7 + a_k+8 = a_k+5 + a_k+6 + a_k+6 + a_k+7 + a_k+8 = a_k+1 + 2a_k+2 + a_{k+ 3} + ... + a_k+8.  Последнее выражение, очевидно, больше S.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	20
Год	1957
вариант
Класс	7
Тур	2
задача
Номер	5