Информация о задаче

Задача 78117

Темы:	[	Правильный (равносторонний) треугольник	]
Темы:	[	Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу	]

Сложность: 4+
Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Внутри равностороннего треугольника ABC находится точка O. Прямая OG, соединяющая O с центром тяжести (точкой пересечения медиан) G треугольника, пересекает стороны треугольника (или их продолжения) в точках A', B', C'. Доказать, что

$\displaystyle {\frac{OA'}{GA'}}$ + $\displaystyle {\frac{OB'}{GB'}}$ + $\displaystyle {\frac{OC'}{GC'}}$ = 3.

Решение

Опустим из точки O перпендикуляры OA₁, OB₁ и OC₁ на стороны треугольника. Из точки G тоже опустим перпендикуляры GA₂, GB₂ и GC₂ на стороны треугольника. Ясно, что

$\displaystyle {\frac{OA'}{GA'}}$ + $\displaystyle {\frac{OB'}{GB'}}$ + $\displaystyle {\frac{OC'}{GC'}}$ = $\displaystyle {\frac{OA_1}{GA_2}}$ + $\displaystyle {\frac{OB_1}{GB_2}}$ + $\displaystyle {\frac{OC_1}{GC_2}}$

и GA₂ = GB₂ = GC₂ = x. Остаётся доказать, что OA₁ + OB₁ + OC₁ = 3x. Пусть a — сторона равностороннего треугольника ABC, S — его площадь. Тогда a(OA₁ + OB₁ + OC₁) = 2S. Поэтому сумма OA₁ + OB₁ + OC₁ одна и та же для любой точки O внутри треугольника ABC. Но если O совпадает с G, то эта сумма равна 3x.

Источники и прецеденты использования


олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	20
Год	1957
вариант
Класс	8
Тур	2
задача
Номер	3