Задача 78132

Темы:    [ Десятичная система счисления ] [ Раскладки и разбиения ] [ Правило произведения ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

Условие

Сколько существует четырёхзначных номеров (от 0001 до 9999), у которых сумма двух первых цифр равна сумме двух последних цифр?

Решение

Пусть сумма первых двух цифр равна n, и сумма двух последних цифр тоже равна n. Число n принимает значение от 1 до 18. Если количество двузначных номеров, у которых сумма цифр равна n, равно a_n, то искомое число равно      Двузначный номер, у которого сумма цифр равна n, состоит из цифр a и  n – a,   где   0 ≤ a ≤ 9   и   0 ≤ n – a ≤ 9.   Таким образом,   0 ≤ a ≤ 9   и   n – 9 ≤ a ≤ n.   Если  n ≤ 9, то имеется  n + 1  вариант: a принимает значения от 0 до n. Если   9 < n ≤ 18,   имеем  19 – n  вариантов: a принимает значения от  n – 9  до 9.
В итоге получаем   a₁ = 2,  a₂ = 3,  ...,  a₈ = 9,  a₉ = 10,  a₁₀ = 9,  ...,  a₁₇ = 2,  a₁₈ = 1.

Ответ

669 номеров.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	21
Год	1958
вариант
Класс	7
Тур	1
задача
Номер	3