|
|
 |
Условие
Дана следующая треугольная таблица чисел:
Доказать, что число, стоящее в самой нижней строчке, делится на 1958.
Решение
Нас интересуют не сами числа, а их остатки от деления на 1958. Поэтому будем записывать в таблицу остатки от деления на 1958. Первая строка таблицы при симметрии относительно среднего числа 1958/2 = 979 преобразуется следующим образом: остаток k переходит в –k (сумма чисел, равноудалённых от концов строки, делится на 1958). Следовательно, при симметрии относительно прямой, проходящей через средние числа, таблица преобразуется так, что остаток k переходит в –k. Если в какой-то строке таблицы стоят числа a1, a2, ..., an, сумма которых равна S, то в следующей строке стоят числа a1 + a2, a2 + a3, ..., an–1 + an, сумма которых равна 2S – a1 – an. В нашей таблице a1 + an = 0, поэтому при переходе к следующей строке сумма остатков каждый раз удваивается. В первой строке сумма остатков равна 979, поэтому во всех остальных строках сумма остатков равна 0. В частности, в последней строке стоит число, кратное 1958.
