Задача 78162

Темы:    [ Покрытия ] [ Геометрические неравенства (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Условие

Обозначим через a наименьшее число кругов радиуса 1, которыми можно полностью покрыть заданный многоугольник M, через b — наибольшее число непересекающихся кругов радиуса 1 с центрами внутри многоугольника M. Какое из чисел больше, a или b?

Решение

Ответ: ab. Рассмотрим произвольную расстановку непересекающихся кругов радиуса 1 с центрами (обозначим их через A_i), лежащими внутри многоугольника M. Тогда все A_i лежат внутри многоугольника M и расстояние между любыми двумя из них больше 2. А значит, в любом круге покрытия многоугольника M кругами радиуса 1 может содержаться не более одной из точек A_i. Тем самым получили, что ab.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	21
Год	1958
вариант
Класс	9
Тур	2
задача
Номер	4