Задача 78164

Темы:    [ Уравнения в целых числах ] [ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Решить в натуральных числах уравнение   x^2y + (x + 1)^2y = (x + 2)^2y.

Решение

  При  у = 1  уравнение обращается в квадратное, имеющее лишь одно решение  x = 3  (второй корень  x = – 1  отрицателен).
  Пусть  у > 1.  Положим  t = x + 1.  Заметим, что числа x^2у и  (x + 2)^2у  одной чётности, а потому число  x + 1 = t  чётно. Подставим в уравнение и раскроем скобки:  (t – 1)^2у + t^2у = (t + 1)^2у,   t^2у – 2yt^2у–1 + ... – 2yt + 1 + t^2у = t^2у + 2yt^2у–1 + ... + 2yt + 1.
  Перенесём 2yt в правую часть, а все остальные члены – в левую. Так как  2y > 3,  то все несократившиеся члены в левой части делятся на 2t². Поэтому и правая часть, равная 4yt, делится на 2t². Значит,  2у ≥ t.  Следовательно,  (t + 1)^2у = t^2у + 2yt^2y–1 + ... > 2t^2у > t^2у + (t – 1)^2у.  Противоречие.

Ответ

x = 3,  y = 1.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	21
Год	1958
вариант
Класс	10
Тур	2
задача
Номер	1