Условие
В многоугольнике существуют такие точки
A и
B, что любая соединяющая их
ломаная, проходящая внутри или по границе многоугольника, имеет длину больше
1. Доказать, что периметр многоугольника больше 2.
Решение
Пусть сначала отрезок
AB целиком проходит внутри или по границе
многоугольника. Обозначим через
A' точку пересечения прямой
AB с
границей многоугольника, лежащую на продолжении отрезка
AB за точку
A и
ближайшую к точке
A. Точка
B' определяется аналогично.
Точки
A' и
B' разбивают границу многоугольника на две ломаных, каждая из
которых имеет длину, большую, чем
A'B'. В свою очередь
AB
A'B'. Но
отрезок
AB не выходит из многоугольника, и, значит, его длина больше 1.
Периметр многоугольника в этом случае имеет длину, большую, чем 2, что и
требуется.
Пусть теперь отрезок
AB не проходит целиком внутри или по границе
многоугольника, то есть на отрезке
AB есть точки, лежащие вне многоугольника.
В этом случае, кроме точек
A' и
B', определяемых, как и раньше, выберем
ещё две точки:
A'' — ближайшая к
A точка пересечения отрезка
AB с
границей многоугольника; точка
B'' определяется аналогично. (Точки
A'' и
B'' непременно различны, так как в противном случае весь отрезок
AB
проходил бы внутри многоугольника или по его границе).
Отрезки
A'A'' и
B''B' лежат, по построению, внутри многоугольника и,
значит, разбивают внутреннюю область многоугольника на три части. Границей
одной из них является отрезок
A'A'' и часть границы многоугольника —
ломаная
, Точно так же граница второй области состоит из отрезка
B'B'' и ломаной
. Третья часть ограничена отрезками
A'A'' и
B'B'' и частями границы многоугольника
и
. Ломаные
AA'B''B и
AA''B'B не выходят из
многоугольника и, по условию, имеют длину больше 1. Значит, периметр
многоугольника
A''A'B''B' больше 2. Остаётся отметить, что
периметр данного многоугольника получается заменой отрезков
A''A' и
B''B'
большими по длине ломаными
и
, и потому он также больше 2.
Отметим ещё, что вместо ломаных
AA'B''B и
AA''B'B может
потребоваться рассмотрение ломаных
AA'B'B и
AA''B''B (это
зависит от расположения отрезков
A'A'' и
B'B'' в многоугольнике).
Последнее замечание, однако, не создаёт новых трудностей.
Источники и прецеденты использования
