Информация о задаче

Задача 78193

Тема:

[

Четырехугольник (неравенства)

]

Сложность: 3+
Классы: 9,10

Прислать комментарий

Условие

Даны два пересекающихся отрезка длины 1, AB и CD. Доказать, что по крайней мере одна из сторон четырёхугольника ABCD не меньше ${\frac{\sqrt{2}}{2}}$ .

Решение

Предположим, что каждая из сторон четырёхугольника ABCD меньше ${\frac{\sqrt{2}}{2}}$ . Тогда квадрат длины каждой стороны меньше ${\frac{1}{2}}$ . Среди четырёх углов, образованных пересекающимися прямыми AB и CD, есть два неострых угла. Рассмотрим стороны четырёхугольника, расположенные в этих неострых углах. Сумма квадратов их длин меньше 1. Квадрат длины стороны треугольника, лежащей против неострого угла, не меньше суммы квадратов длин двух других сторон треугольника. Поэтому сумма квадратов длин четырёх отрезков, на которые делятся отрезки AB и CD точкой пересечения, меньше 1. С другой стороны, каждый из этих отрезков делится точкой пересечения на два отрезка, сумма квадратов длин которых не меньше ${\frac{1}{2}}$ , поскольку x² + (1 - x)² = 2(x - ${\frac{1}{2}}$ )² + ${\frac{1}{2}}$ $\ge$ ${\frac{1}{2}}$ . Получено противоречие.

Источники и прецеденты использования


олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	22
Год	1959
вариант
Класс	8
Тур	2
задача
Номер	4