Информация о задаче

Задача 78196

Тема:

[

Многоугольники (неравенства)

]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

n отрезков длины 1 пересекаются в одной точке. Доказать, что хотя бы одна сторона 2n-угольника, образованного их концами, не меньше стороны правильного 2n-угольника, вписанного в окружность диаметра 1.

Решение

Если в треугольнике ABC угол C не меньше $\pi$ /n, то

c² = a² + b² - 2ab cos C $\displaystyle \ge$ a² + b² - 2ab cos $\displaystyle {\frac{\pi}{n}}$ $\displaystyle \ge$ (a² + b²)(1 - cos $\displaystyle {\frac{\pi}{n}}$ ).

Предположим, что все стороны рассматриваемого 2n-угольника меньше стороны правильного 2n-угольника, вписанного в окружность диаметра 1. Тогда квадрат длины любой стороны меньше ${\frac{1}{2}}$ (1 - cos ${\frac{\pi}{n}}$ ). Прямые, проходящие через данные отрезки, делят плоскость на 2n углов, поэтому наибольший из этих углов не меньше ${\frac{\pi}{n}}$ . Рассмотрим два данных отрезка, образующих этот угол. Концы этих отрезков соединяют две стороны 2n-угольника, лежащие против углов, не меньших ${\frac{\pi}{n}}$ . Поэтому сумма квадратов длин этих сторон не меньше, чем сумма квадратов длин четырёх отрезков, на которые выбранные отрезки делятся точкой пересечения, умноженная на 1 - cos ${\frac{\pi}{n}}$ . С другой стороны, согласно предположению сумма квадратов длин двух сторон 2n-угольника меньше 1 - cos ${\frac{\pi}{n}}$ . Поэтому сумма квадратов длин четырёх отрезков, на которые выбранные отрезки делятся точкой их пересечения, меньше 1. Но этого не может быть, поскольку отрезок длины 1 делится на отрезки x и 1 - x, а x² + (1 - x)² = 2(x - ${\frac{1}{2}}$ )² + ${\frac{1}{2}}$ $\ge$ ${\frac{1}{2}}$ .

Источники и прецеденты использования


олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	22
Год	1959
вариант
Класс	9
Тур	2
задача
Номер	2