Задача 78197

Тема:    [ Развертка помогает решить задачу ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Доказать, что не более одной вершины тетраэдра обладает тем свойством, что сумма любых двух плоских углов при этой вершине больше 180^o.

Решение

Предположим противное, тогда возьмём ребро, соединяющее две такие вершины. Рассмотрим развёртку на плоскость двух граней, примыкающих к этому ребру. Получаем четырёхугольник, у которого DAB > 180^o и BCD > 180^o (см. рисунок), а значит, сумма всех углов этого четырёхугольника больше 360^o, что невозможно. Получили противоречие.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	22
Год	1959
вариант
Класс	9
Тур	2
задача
Номер	3