Задача 78211

Тема:    [ Четырехугольники (построения) ]

Сложность: 3 Классы: 9,10

Условие

Через данную вершину A выпуклого четырёхугольника ABCD провести прямую, делящую его площадь пополам.

Решение

Опустим из вершин B и D перпендикуляры BB₁ и DD₁ на диагональ AC. Пусть для определённости DD₁ > BB₁. Построим отрезок длины  a = DD₁ - BB₁ и проведём прямую, параллельную прямой AC, удаленную от AC на расстояние a и пересекающую сторону CD в некоторой точке E. Ясно, что S_AED = (ED/CD)S_ACD = (BB₁/DD₁)S_ACD = S_ABC. Поэтому медиана треугольника AEC лежит на искомой прямой.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	23
Год	1960
вариант
	1
Класс	8
Тур	1
задача
Номер	3