Задача 78212
|
|
 |
Условие
Даны отрезки AB, CD и точка O. Конец отрезка называется
"отмеченным", если прямая, проходящая через него и точку O, не
пересекает другой отрезок. Сколько может быть отмеченных концов?
Решение
Проведём прямые OA и OВ и заштрихуем угол AOB (т. е. тот угол, в котором расположен отрезок AB) и вертикальный с ним. Ясно, что точка С (или D) будет отмечена, если она не лежит в заштрихованных углах, и не будет отмечена, если она лежит в одном из заштрихованных углов. Могут представиться следующие возможности:
- Отрезок CD не пересекает ни одной из прямых OA, OB. В этом случае обе точки A, В являются отмеченными. Точки же С и D лежат обе в одном и том же из четырёх углов, определяемых прямыми OA и OB, т. е. либо обе являются отмеченными, либо обе не являются отмеченными. Итак, в рассматриваемом случае отмечены либо 2, либо 4 точки.
- Отрезок CD пересекает только одну из прямых OA, OB, т. е. только одна из точек A, В является отмеченной. Точки же С и D лежат в двух смежных углах, определяемых прямыми OA, OВ, т. е. одна лежит в заштрихованном углу, а другая — в незаштрихованном; следовательно, только одна из точек С, D является отмеченной. Итак, в рассматриваемом случае отмечены 2 точки.
- Отрезок CD пересекает обе прямые OA, OB, т. е. ни одна из точек A, B не является отмеченной. Точки С и D лежат в этом случае в двух вертикальных углах, т. е. либо обе отмечены , либо ни одна из них не отмечена. Итак, в рассматриваемом случае либо 2 точки отмечены, либо ни одна не отмечена.
