Задача 78213
|
|
 |
Условие
Доказать, что существует бесконечно много натуральных чисел, не представимых в виде p + n2k ни при каких простых p и целых n и k.
Решение
Пусть число а² представимо в указанном виде. Тогда р = а² – n2k = (а – nk) (а + nk). Так как р – простое число, то а – nk = 1,
а р = (а + nk) = а + (а – 1) = 2a – 1. Но для каждого а вида 3m + 2 число 2a – 1 = 6m + 3 не простое, то есть а² не представимо в указанном виде. Таким образом, даже среди чисел, являющихся точными квадратами, бесконечно много чисел обладают требуемым свойством.
