Задача 78214
|
|
 |
Условие
Доказать, что любая правильная дробь может быть представлена в виде (конечной) суммы обратных величин попарно различных целых чисел.
Решение
Пусть m/n – правильная дробь. Докажем требуемое утверждение индукцией по m.
База. При m = 1 утверждение очевидно.
Шаг индукции. Пусть m > 1. Запишем n в
виде n = qm – r, где 0 ≤ r < m. Тогда m/n = 1/q + r/qn. При r = 0 всё в порядке. В противном случае правильную дробь r/qn можно представить в требуемом виде по предположению индукции. В полученном представлении для m/n не появится одинаковых слагаемых, поскольку r/qn < 1/q.
Замечания
Могут найтись несколько представлений дроби в требуемом виде, например: ⅜ = ¼ + ⅛ = ⅓ + 1/24.
