Задача 78219

Темы:    [ Десятичная система счисления ] [ Делимость чисел. Общие свойства ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Условие

В десятичной записи целого числа A все цифры, кроме первой и последней, нули, первая и последняя – не нули, число цифр – не меньше трёх.
Доказать, что A не является точным квадратом.

Решение

Предположим, что A   точный квадрат. Тогда его последняя цифра будет 1, 4, 5, 6 или 9. Но точный квадрат не может оканчиваться ни на 05, ни на 06. Следовательно, число A оканчивается на одну из цифр 1, 4, 9. Обозначим через x квадратный корень из последней цифры числа A. Пусть k – число нулей в числе  A – x².  (Можно считать, что  k > 2.)  Так как число x не делится на 5, то ровно одно из чисел   – x,  + x  делится на 5, а значит, и на 5^k. Следовательно, одно из этих чисел не меньше 5^k, а другое не меньше  5^k – 6,  а значит, произведение этих чисел не меньше, чем  5^k(5^k – 6) > 5^k·9·2^k = 9·10^k, что противоречит (k+1)-значности числа A. Итак, число A не может быть точным квадратом.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	23
Год	1960
вариант
	1
Класс	10
Тур	1
задача
Номер	4