|
|
 |
Условие
Имеется бесконечная шахматная доска. Обозначим через (a, b) поле, расположенное на пересечении горизонтали с номером a и вертикали с номером b. Фишка с поля (a, b) может сделать ход на любое из восьми полей: (a ± m, b ± n), (a ± n, b ± m), где m, n – фиксированные числа, а "+" и "–" комбинируются произвольно. Сделав x ходов, фишка вернулась на исходное поле. Доказать, что x чётно.
Решение
Пусть p – разность между количеством ходов вида (a + m, b + n) и количеством ходов вида (a – m, b – n), q – вида (a – m, b – n) и (a – m, b + n), r – вида (a + n, b + m) и (a – n, b – n), s – вида (a + n, b – m) и (a – n, b + n). Разность двух чисел имеет ту же чётность, что и их сумма, поэтому чётность числа p + q + r + s совпадает с чётностью x.
Поскольку фишка вернулась на исходное поле, то (p + q)m + (r + s)n = 0, (p – q)n + (r – s)m = 0. Значит, p+q/r+s = r–s/p–q, то есть p² – q² – r² + s² = 0. Чётность левой части совпадает с чётностью суммы p + q + r + s, то есть эта сумма чётна. Следовательно, и x чётно.
